Fungsi logaritma

1. Pengertian Logaritma

Secara umum, pengertian operasi logaritma dituliskan sebagai berikut :

Bilangan g disebut bilangan pokok logaritma (Basis), sedangkan a disebut numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya. Hasil dari logaritma bilangan a adalah p yang merupakan eksponen dari g. 

Logaritma dari suatu bilangan c dengan bilangan pokok a adalah suatu bilangan b yang memangkatkan a sehingga diperoleh hasil sama dengan c dan dinyatakan dengan:

Keterangan:

● a dinamakan bilangan pokok (basis) logaritma dengan a < 0 dan a ≠ 1. Apabila bilangan

   pokok a tidak ditulis, berarti bilangan pokok logaritma adalah 10 (sistem desimal).

● c dinamakan numerus, yaitu bilangan yang ditarik ligaritmanya, disyaratkan c > 0

● b dinamakan hasil logaritma atau pangkat pada ab. Nilai dapat positif, dapat negatif atau nol.

Pernyataan ³logx dibaca ”logaritma dari bilangan x dengan bilangan pokok atau basis

logaritma 3 ”. Pengertian di atas dinyatakan dengan ³logx = n jika dan hanya jika x = 3ⁿ

Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Bilangan

Logaritma merupakan balikan atau invers dari operasi eksponensial, maka fungsi logaritma juga berkaitan dengan fungsi eksponen.

2. Sifat-sifat Logaritma dan Operasi Aljabar Logaritma

Jika sifat-sifat tentang perpangkatan dinyatakan dengan bentuk logaritma, maka sering dinyatakan sebagai sifat-sifat logaritma.

Contoh Soal:

Sederhanakan soal-soal berikut !

Jawab:

3. Fungsi Logaritma

a. Pengertian Fungsi Logaritma

Sebagaimana halnya pada pengertian logaritma di atas, fungsi logaritma merupakan fungsi invers (balikan) dari fungsi eksponen. Pengertian fungsi logaritma adalah :

Keterangan:

b. Grafik Fungsi Logaritma

Cara membuat grafi k fungsi logaritma f(x) = ᵃlog x adalah :

Membuat tabel hubungan antara x dengan y = f(x) = ᵃlog x

Menggambar titik-titik yang diperoleh pada langkah 1) dan kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. Maka akan diperoleh grafi k yang dimaksud.

Catatan:

Sebagaimana fungsi eksponen, fungsi logaritma f(x) = ᵃlog x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik.

Grafi k fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu :

a) Grafi k fungsi logaritma dengan basis lebih besar daripada Satu

    Untuk lebih memahaminya, lengkapilah titik-titik berikut.

    Gambarlah grafi k fungsi logaritma f(x) = 3log x.

    Untuk mempermudah membuat grafi k, dibuat tabel pasangan koordinat berikut:

Gambar pasangan koordinat titik (x,y) yaitu sebagai berikut:

Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa, jika nila x makin besar maka nilai y juga makin besar. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut :

Dari grafi k fungsi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika nilai x semakin besar, maka f(x)

= ¹/³log x semakin kecil. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :

Berdasarkan pertidaksamaan itu, dapat dikatakan bahwa grafi k fungsi logaritma f(x) = ᵃlogx, dengan 0 < a < 0 merupakan grafik fungsi monoton turun.

c. Sifat-sifat Fungsi Logaritma f(x) = ᵃlog x,dengan a ≠ 1

Setelah kalian mempelajari tentang grafi k fungsi logaritma, diketahui sifat-sifat fungsi logaritma

sebagai berikut :

a. Selalu memotong sumbu X di titik (1,0)

b. Merupakan fungsi kontinu

c. Tidak pernah memotong sumbu Y sehingga dikatakan sumbu Y sebagai asimtot tegak

d. f merupakan fungsi naik jika a>1 , merupakan fungsi turun jika 0 < a < 1

   Grafi k fungsi f(x) = ᵃlog x dan f(x) = ¹/ᵃlog x simetris terhadap sumbu X.

d. Aplikasi Fungsi Logaritma

Konsep dan fungsi logaritma sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Dalam ilmu kimia, logaritma digunakan untuk menentukan kadar keasaman suatu larutan. Dalam ilmu fisika logaritma digunakan untuk menentukan taraf intensitas suatu bunyi. Logaritma juga digunakan untuk menentukan besarnya skala Richter yang biasa digunakan dalam satuan skala besarnya kegempaan. Fungsi logaritma juga bisa digunakan dalam ilmu perbankkan, yaitu untuk menghitung besarnya bunga majemuk. Penghitungan bunga majemuk termasuk fungsi pertumbuhan (monoton naik).

Pada materi sebelumnya  telah dibahas tentang fungsi eksponen, salah satu permasalahan yang dibahas yaitu pinjaman. nah sekarang bagaimana caranya jika kita ingin mengetahui kapan angsuran

pinjaman kita selesai, berapa suku bunga yang diberikan bank, dan butuh berapa periode kita mengangsur pinjamanan? Untuk dapat menjawab itu semua, perhatikan baik-baik uraian materi berikut.

Apa sih bunga majemuk itu?

Kalian tentu sudah mengerti bahwa jika seseorang menyimpan uang di bank dalam periode tertentu pasti akan mendapat bunga, dan jika bunga tersebut tidak diambil, maka bunga tersebut bersama-sama dengan modal awal akan menjadi modal baru yang akan berbunga lagi pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh akan lebih besar dari bunga periode sebelumnya. Nah, proses bunga berbunga ini disebut bunga majemuk.

Sebagai contoh, Beril meminjam uang di bank untuk modal usaha sebesar Rp 50.000.000,00 dengan bunga majemuk 2% dengan lama pinjaman 4 tahun. Beril mendapatkan tabel rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di akhir tahun keempat sebagai berikut :

Dari tabel tersebut, terlihat bahwa bunga terus bertambah setiap tahunnya/periodenya, yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ( i ) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya.

Perhitungannya sebagai berikut :

Modal sebelumnya        = Rp 50.000.000,00

Bunga tahun/periode I   = 3% × Rp 50.000.000,00 = Rp 1.000.000,00

Modal periode I             = Rp 50.000.000,00 + Rp 1.000.000,00

                                       = Rp 51.000.000,00

Bunga tahun/periode II  = 3% × Rp 51.000.000,00 = Rp 1.020.000,00

Modal periode II            = Rp 51.000.000,00 + Rp 1.020.000,00

                                       = Rp 52.020.000,00

Begitu seterusnya.

Selain menghitung secara manual seperti di atas, menghitung besarnya bunga majemuk da pat dilakukan dengan fungsi eksponen, yang sudah kita bahas di unit 1. Selain dengan hitungan manual seperti uraian diatas, atau dengan fungsi eksponen, suku Bunga bank juga dapat dihitung dengan menggunakan logaritma. Kita dapat menggunakan logaritma untuk menentukan waktu yang diperlukan untuk menaikkan tabungan awal menjadi suatu jumlah tertentu.

Dalam bunga majemuk dengan tabungan awal M₀ pada bunga i per tahun, maka jumlah tabungan setelah waktu penyimpanan t tahun (Mₜ) dapat dirumuskan sebagai berikut :

Contoh Soal:

Bu Sinta memiliki tabungan di suatu bank sejumlah Rp 5.000.000,00 dengan bunga majemuk 5% per tahun. Tentukan waktu yang diperlukan agar tabungan Bu Sinta menjadi dua kali lipat.

Jawab:

Video Penjelasan Fungsi Logaritma

4. Penugasan

Kerjakanlah beberapa soal berikut di buku tulis kalian, jawaban dari soal tersebut akan dibahas pada pertemuan tutorial !

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal berikut !
    Nilai x yang memenuhi persamaan  ¹⁰log (2 x 5) = ¹⁰log (x + 3)

2. Tentukan nilai akhir sebuah modal sebesar  Rp. 5.000.000,00 yang diperbungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk 2% per tahun !

3. Carilah nilai akhir jika sebuah modal Rp.100.000,00 yang dibungakan dengan bunga majemuk selama 5 tahun 4 bulan dengan bunga 6% per tahun !

Daftar Pustaka

Senja, Hendi Gumiral. (2008). Matematika 1. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Iskandar, Haris. (2017). Matematika Perminatan Paket C Setara SMA/MA. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Anak Usia Dini dan Pendidikan Masyarakat, Direktorat Pembinaan Pendidikan Keaksaraan dan Kesetaraan.

Share:

Read More

Penyelesaian Masalah Kontekstual Fungsi Eksponensial

   Bilangan pangkat banyak sekali manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari, misalnya sebuah perusahaan kontraktor memperoleh pekerjaan untuk membangun jalan tol. Untuk keperluan tersebut tentunya membutuhkan biaya yang sangat besar bahkan sampai ratusan triliun, sehingga perusahaan membutuhkan pinjaman. Misalnya pinjaman yang diajukan 500 triliun, yang dapat ditulis 500.000.000.000.000. Panjang sekali bukan? Sangat tidak praktis tentunya. Disinilah kegunaan bilangan berpangkat, kita bisa menuliskan bilangan besar tersebut dengan cara yang sangat sederhana, yaitu 5 x 10¹⁴. Itulah salah satu manfaat bentuk pangkat dalam kehidupan sehari-hari yaitu memudahkan dan menyederhanakan dalam penulisan dan perhitungannya.

1. Pangkat bilangan bulat positif

Pangkat bulat positif merupakan cara ringkas untuk menuliskan perkalian dari bilanganbilangan dengan faktor-faktor yang sama, seperti :

5 × 5

4 × 4 × 4 × 4

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor yang sama seperti contoh di atas disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan atau disajikan secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangat atau notasi eksponen.

Contoh Soal:

Perkalian berulang 3 × 3 × 3 × 3 dapat ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 34.

Jadi, 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

Notasi 34 (dibaca : 3 pangkat 4 atau 3 eksponen 4) merupakan bentuk bilangan berpangkat. Bilangan 2 disebut bilangan pokok/bilangan dasar/basis, dan bilangan 4, yang ditulis agak ke atas, disebut pangkat atau eksponen.

Berdasarkan uraian di atas, bilangan pangkat bulat positif dapat didefi nisikan sebagai berikut:

Jika a merupakan bilangan real tidak nol, dan n merupakan bilangan bulat, maka :

Keterangan:

a : bilangan pokok atau basis

n : pangkat atau eksponen (n adalah bilangan asli > 1)

Jika n = 1, maka aⁿ = a¹ = a

Jika n = 0, maka aⁿ = a⁰ = 1

Sifat-sifat Berpangkat Bilangan Bulat Positif

Jika a dan b adalah bilangan real dan p, q, dan r bilangan bulat positif, maka berlaku :

Contoh Soal:

Tentukan hasil dari bentuk pangkat berikut !

Jawab :

2. Pangkat Bilangan Bulat Negatif

   Setiap bilangan bulat negatif dapat diubah dalam bentuk bilangan bulat positif, dan sebaliknya bilangan bulat positif juga dapat diubah dalam bentuk bilangan bulat negatif.

Jika a merupakan bilangan real tidak nol, dan n merupakan bilangan bulat, maka :

Keterangan :

a⁻ⁿ disebut bilangan berpangkat bulat negatif

     Karena bilangan bulat negatif tidak dapat diartikan sebagai hasil perkalian dari beberapa bilangan dengan faktor-faktor yang sama, maka bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, bukan merupakan bilangan berpangkat dalam arti yang sebenarnya. Oleh karena itu, bilangan berpangkat dengan pangkat bulat negatif sering disebut dengan bilangan tak sebenarnya.

  Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif juga berlaku pada bilangan berpangkat bulat negatif atau berpangkat nol, kecuali sifat 0ⁿ = 0.

Contoh Soal:

Rubahlah bilangan berpangkat bulat negatif berikut menjadi bilangan berpangkat bulat positif!

Jawab:

3. Pangkat Bilangan Nol

Untuk sembarang bilangan real tidak nol a, berlaku:

Keterangan:

a bilangan real dan a ≠ 0 disebut

Contoh Soal:

Tentukanlah hasil dari bentuk-bentuk pangkat berikut!

Jawab:

4. Pangkat Bilangan Pecahan

    Setelah memahami konsep pangkat bulat positif, pangkat bulat negatif, selanjutnya akan diperluas pada konsep pangkat pecahan dan kaitan antara pangkat pecahan dengan bentuk akar. Kalian tentu masih ingat, bahwa bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat dengan n≠0.

Dengan demikian, bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi : aᵐ⁄ ⁿ dengan a bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh Soal:

Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar!

Di atas telah dijelaskan bahwa bilangan pangkat bulat negatif dapat diubah ke dalam bentuk bilangan pangkat positif, dan sebaliknya. Pertanyaannya sekarang, apakah bilangan pangkat pecahan negatif juga dapat diubah menjadi bilangan pangkat pecahan positif, dan sebaliknya? Perhatikan uraian berikut!

Dari hubungan diatas menunjukkan bahwa tiap bilangan berpangkat pecahan negatif dapat diubah

menjadi bilangan berpangkat pecahan positif, dan sebaliknya.

5. Fungsi eksponen dan penerapannya

1. Persamaan Eksponen Sederhana

    Setelah kalian mempelajari tentang bentuk pangkat atau eksponen, sekarang pembahasan akan diperluas tentang persamaan eksponen sederhana dan fungsi eksponen. Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya (pangkatnya) memuat perubah x atau persamaan yang bilangan pokoknya memuat perubah x. Persamaan eksponen itu sendiri ada dua bentuk, yaitu persamaan eksponen sederhana dan persamaan eksponen lanjut. Untuk tahapan ini, hanya akan membahas tentang persamaan eksponen sederhana. Persamaan eksponen sederhana maksudnya persamaan yang hanya menyamakan nilai basisnya dan langsung bisa menentukan penyelesaiannya.

Dari berbagai bentuk persamaan eksponen yang ada, cara penyelesaiannya bergantung pada bentuknya.

a. Persamaan eksponen berbentuk aᶠ⁽˟⁾ = aᴾ

Penyelesaian persamaan berbentuk aᶠ⁽˟⁾ = aᴾ mengikuti aturan berikut :

Jika aᶠ⁽˟⁾ = aᴾ (a > 0 dan a ≠ 1), maka aᶠ⁽˟⁾ = p

contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

1. 3²⁺˟ = 27

2. 2³⁺²˟+2˟ = 16

Jawab

1. 3²⁺˟    = 27
    3²⁺˟    = 3³
    2 + x  = 3
    x = 3 - 2 = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }

2. 2³⁺²˟    = 16
    2³⁺²˟    = 2⁴
    2x  = 4 - 3 = 1
    2 + x  = 3
    x = 1/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1/2}

b. Persamaan eksponen berbentuk aᶠ⁽˟⁾ = aᵍ⁽˟⁾

Penyelesaian persamaan berbentuk aᶠ⁽˟⁾ = aᵍ⁽˟⁾ mengikuti aturan berikut :

Jika aᶠ⁽˟⁾ = aᵍ⁽˟⁾ (a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = g(x)

Contoh soal

Jawab

2. Fungsi Eksponen

Nah, kalian sudah paham tentang persamaan eksponen sederhana kan? Sekarang apa yang dimaksud dengan fungsi eksponen?.

Fungsi adalah sebuah relasi khusus yang mempunyai aturan tertentu. Fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B disebut fungsi dari A ke B yang ditulis f : A → B. Apakah setiap x ϵ A tepat memiliki pasangan di ϵ B ? Perhatikan gambar berikut!

Pada gambar di atas tampak bahwa setiap bilangan real x dipetakan dengan tepat ke bilangan real k˟, dengan k konstanta. Dengan demikian fungsi f memetakan x ϵ A ke ka˟ atau f : x → ka˟. Aturan fungsi f sering ditulis dengan notasi y = f(x) = ka˟ dengan x variabel bebas dan a merupakan bilangan pokok (basis), dengan a > 0 dan a ≠ 1. Fungsi seperti ini disebut dengan fungsi eksponen. Secara umum, pengertian fungsi eksponen dapat dituliskan sebagai berikut:

Fungsi eksponen adalah sebuah fungsi yang memetakan

setiap x anggota himpunan bilangan real dengan tepat

satu anggota bilangan real ka˟, dengan k suatu konstanta

dan a bilangan pokok (basis) dengan a > 0 dan a ≠ 1.

Contoh fungsi eksponen:

1. f(x) = 3˟

2. f(x) = 4²˟

3. f(x) = (1/3)˟

3. Grafik Fungsi Eksponen

Grafik fungsi eksponen dapat dibuat dengan bantuan nilai fungsi. Untuk lebih memahami tentang grafik fungsi eksponen, perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Gambarlah grafi k fungsi eksponen f(x) = 2˟ dan f(x) = (½)˟

Jawab:

Mula-mula dibuat tabel nilai fungsi berikut:

Dari tabel di atas, kemudian dibuat grafi k sebagai berikut :

Berdasarkan grafi k tersebut dapat disimpulkan bahwa:

● Fungsi eksponen f(x) = a˟ dengan a > 1 merupakan fungsi naik (kurva bergerak ke atas)

● Fungsi f(x) = a˟ dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi turun (kurva bergerak turun).

4. Penerapan Fungsi eksponen

      Pertumbuhan dan penyusutan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari tidak hanya bersifat linear atau kuadratis.

a. Pertumbuhan (Pertambahan)

Konsep pertumbuhan atau pertambahan secara eksponensial sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pertumbuhan penduduk, pertumbuhan keuangan perusahaan, perhitungan sistem angsuran dalam kredit barang, perbankan dan sistem asuransi.

Perhatikan gambar berikut :

Amatilah grafik di atas. Pada gambar tersebut tampak bahwa jika x bertambah, maka nilai f(x) = y = ka˟ juga makin besar. Jika suatu grafi k pertumbuhan atau pertambahan mempunyai bentuk grafik seperti pada gambar tersebut, dapat dikatakan bahwa grafi k pertumbuhan atau pertambahan itu merupakan grafi k fungsi eksponensial.

Pertumbuhan secara eksponensial dapat dituliskan dalam fungsi f(x) = y = ka˟ dengan a = p + 1 dan nilai p > 0. Nilai p di sini menyatakan laju pertumbuhan. Jika a = P + 1, k > 0, dan p > 0, maka fungsi eksponen f(x) = y = ka˟ dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.

f(x) = k(p + 1)˟

Untuk lebih memahami tentang pertumbuhan (Pertambahan), perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal:

Sony menabung sebesar Rp 500.000,00 di suatu bank selama 3 tahun dengan bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Pada setiap akhir tahun bunga pada tahun yang bersangkutan ditambahkan dengan uang yang tersimpan sehingga seluruhnya menjadi modal awal tahun berikutnya. Berapa jumlah uang Sony pada akhir tahun ke-3?

Jawab

Misalkan uang Sony yang ditabung dinyatakan dengan M₀

Bunga majemuk bank dinyatakan dengan bilangan decimal i

Waktu penyimpanan = t tahun

Uang Sony pada akhir tahun ke-t dinyatakan : Mₜ

Bunga yang diberikan oleh Bank adalah bunga majemuk, maka uang Sony pada akhir tahun ke-t tumbuh secara eksponensial dengan besar :

Mₜ = M₀(1 + i)ᵗ

Diketahui: M₀ = Rp 500.000,00

                   i = 10%

                   t = 3 tahun

Ditanyakan: Mₜ  = ..?

                      Mₜ = M₀  (1 + i )ᵗ

                      Mₜ  = 500.000 (1 + 0,1)³

                      Mₜ   = 500.000 (1,1)³

                      Mₜ   = 500.000 (1,331)

                      Mₜ   = 665.500

Jadi, besarnya uang Sony pada akhir tahun ke-3 adalah Rp 665.500,00.

b. Peluruhan (Pengurangan atau Penyusutan)

Contoh penyusutan yang terjadi secara eksponensial adalah peluruhan zat radioaktif, kadar pestisida,
Perhatikan grafi k fungsi eksponen f(x) = ka dengan k > 0 dan 0 < a < 1 berikut :

Pada grafi k tersebut terlihat bahwa grafi k fungsi eksponen f(x) = kax dengan k > 0 dan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton turun. Dengan kata lain, jika x bertambah, nilai f(x) = ka˟ makin berkurang. Secara umum Penyusutan atau peluruhan secara eksponensial dapat dituliskan dengan rumus fungsi berikut :

f(x) = ka˟  dengan a = 1 - p

Secara umum, jika a = 1-p, k > 0 dan 0 < a < 1 maka fungsi eksponen f(x) = kax dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :

f(x) = k(1 - p)˟ 

Untuk lebih memahami tentang peluruhan (pengurangan atau penyusutan), perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal:

Pada pukul 08.00 pagi massa suatu zat radioaktif adalah 0,2 kg. Apabila diketahui laju peluruhan zat radioaktif tersebut 10% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif itu pada pukul 14.00 siang?

Jawab:

Misalkan massa zat radioaktif pada pukul 08.00 ditulis dengan notasi P₀

Laju peluruhan p

Waktu peluruhan t

Sisa zat radioaktif pada waktu t dinyatakan Pₜ

Maka, rumus untuk peluruhan zat radioaktif itu dapat dituliskan sebagai :

Pₜ = P₀ (1 - p)ᵗ

Dari soal di atas, dapat diperoleh :

Diketahui:   P₀ = 0,2 kg
                      p = 10%
                      t = 14.00 - 08.00 = 4 jam
Ditanya:  Pₜ = ...?

Dijawab: Pₜ = P₀ (1-p)ᵗ

                 Pₜ  = 0,2 (1 - 0,1)4

                 Pₜ  = 0,2 (0,9)4 = 0,2 (0,6561)

                 Pₜ  = 0,13122

Jadi, sisa zat radioaktif pada pukul 14.00 adalah 0,13122 kg = 131,22 gram.

Video Penjelasan Fungsi Eksponensial

5. Penugasan

Kerjakanlah beberapa soal berikut di buku tulis kalian, jawaban dari soal tersebut akan dibahas pada pertemuan tutorial !

1. Sederhanakanlah bentuk pemangkatan berikut !

    a. p⁵ x p¹⁰ x p⁴     b. (x²)⁴      c. 2⁶ : 2⁴

2. Modal sebesar Rp. 250.000,00 disimpan di bank dengan bunga majemuk 2% per bulan. Tentukan berapa besar modal tersebut setelah setengah tahun !

3. Waktu paruh sebuah unsur radioaktif adalah 2 hari. Berapa lama diperlukan oleh 64 g unsur ini untuk meluruh menjadi tinggal 2 g ?

Daftar Pustaka

Senja, Hendi Gumiral. (2008). Matematika 1. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Iskandar, Haris. (2017). Matematika Perminatan Paket C Setara SMA/MA. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Anak Usia Dini dan Pendidikan Masyarakat, Direktorat Pembinaan Pendidikan Keaksaraan dan Kesetaraan.

Share:

Read More