Fungsi logaritma

1. Pengertian Logaritma

Secara umum, pengertian operasi logaritma dituliskan sebagai berikut :

Bilangan g disebut bilangan pokok logaritma (Basis), sedangkan a disebut numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya. Hasil dari logaritma bilangan a adalah p yang merupakan eksponen dari g. 

Logaritma dari suatu bilangan c dengan bilangan pokok a adalah suatu bilangan b yang memangkatkan a sehingga diperoleh hasil sama dengan c dan dinyatakan dengan:

Keterangan:

● a dinamakan bilangan pokok (basis) logaritma dengan a < 0 dan a ≠ 1. Apabila bilangan

   pokok a tidak ditulis, berarti bilangan pokok logaritma adalah 10 (sistem desimal).

● c dinamakan numerus, yaitu bilangan yang ditarik ligaritmanya, disyaratkan c > 0

● b dinamakan hasil logaritma atau pangkat pada ab. Nilai dapat positif, dapat negatif atau nol.

Pernyataan ³logx dibaca ”logaritma dari bilangan x dengan bilangan pokok atau basis

logaritma 3 ”. Pengertian di atas dinyatakan dengan ³logx = n jika dan hanya jika x = 3ⁿ

Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Bilangan

Logaritma merupakan balikan atau invers dari operasi eksponensial, maka fungsi logaritma juga berkaitan dengan fungsi eksponen.

2. Sifat-sifat Logaritma dan Operasi Aljabar Logaritma

Jika sifat-sifat tentang perpangkatan dinyatakan dengan bentuk logaritma, maka sering dinyatakan sebagai sifat-sifat logaritma.

Contoh Soal:

Sederhanakan soal-soal berikut !

Jawab:

3. Fungsi Logaritma

a. Pengertian Fungsi Logaritma

Sebagaimana halnya pada pengertian logaritma di atas, fungsi logaritma merupakan fungsi invers (balikan) dari fungsi eksponen. Pengertian fungsi logaritma adalah :

Keterangan:

b. Grafik Fungsi Logaritma

Cara membuat grafi k fungsi logaritma f(x) = ᵃlog x adalah :

Membuat tabel hubungan antara x dengan y = f(x) = ᵃlog x

Menggambar titik-titik yang diperoleh pada langkah 1) dan kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus. Maka akan diperoleh grafi k yang dimaksud.

Catatan:

Sebagaimana fungsi eksponen, fungsi logaritma f(x) = ᵃlog x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik.

Grafi k fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu :

a) Grafi k fungsi logaritma dengan basis lebih besar daripada Satu

    Untuk lebih memahaminya, lengkapilah titik-titik berikut.

    Gambarlah grafi k fungsi logaritma f(x) = 3log x.

    Untuk mempermudah membuat grafi k, dibuat tabel pasangan koordinat berikut:

Gambar pasangan koordinat titik (x,y) yaitu sebagai berikut:

Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa, jika nila x makin besar maka nilai y juga makin besar. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut :

Dari grafi k fungsi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika nilai x semakin besar, maka f(x)

= ¹/³log x semakin kecil. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :

Berdasarkan pertidaksamaan itu, dapat dikatakan bahwa grafi k fungsi logaritma f(x) = ᵃlogx, dengan 0 < a < 0 merupakan grafik fungsi monoton turun.

c. Sifat-sifat Fungsi Logaritma f(x) = ᵃlog x,dengan a ≠ 1

Setelah kalian mempelajari tentang grafi k fungsi logaritma, diketahui sifat-sifat fungsi logaritma

sebagai berikut :

a. Selalu memotong sumbu X di titik (1,0)

b. Merupakan fungsi kontinu

c. Tidak pernah memotong sumbu Y sehingga dikatakan sumbu Y sebagai asimtot tegak

d. f merupakan fungsi naik jika a>1 , merupakan fungsi turun jika 0 < a < 1

   Grafi k fungsi f(x) = ᵃlog x dan f(x) = ¹/ᵃlog x simetris terhadap sumbu X.

d. Aplikasi Fungsi Logaritma

Konsep dan fungsi logaritma sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Dalam ilmu kimia, logaritma digunakan untuk menentukan kadar keasaman suatu larutan. Dalam ilmu fisika logaritma digunakan untuk menentukan taraf intensitas suatu bunyi. Logaritma juga digunakan untuk menentukan besarnya skala Richter yang biasa digunakan dalam satuan skala besarnya kegempaan. Fungsi logaritma juga bisa digunakan dalam ilmu perbankkan, yaitu untuk menghitung besarnya bunga majemuk. Penghitungan bunga majemuk termasuk fungsi pertumbuhan (monoton naik).

Pada materi sebelumnya  telah dibahas tentang fungsi eksponen, salah satu permasalahan yang dibahas yaitu pinjaman. nah sekarang bagaimana caranya jika kita ingin mengetahui kapan angsuran

pinjaman kita selesai, berapa suku bunga yang diberikan bank, dan butuh berapa periode kita mengangsur pinjamanan? Untuk dapat menjawab itu semua, perhatikan baik-baik uraian materi berikut.

Apa sih bunga majemuk itu?

Kalian tentu sudah mengerti bahwa jika seseorang menyimpan uang di bank dalam periode tertentu pasti akan mendapat bunga, dan jika bunga tersebut tidak diambil, maka bunga tersebut bersama-sama dengan modal awal akan menjadi modal baru yang akan berbunga lagi pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh akan lebih besar dari bunga periode sebelumnya. Nah, proses bunga berbunga ini disebut bunga majemuk.

Sebagai contoh, Beril meminjam uang di bank untuk modal usaha sebesar Rp 50.000.000,00 dengan bunga majemuk 2% dengan lama pinjaman 4 tahun. Beril mendapatkan tabel rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di akhir tahun keempat sebagai berikut :

Dari tabel tersebut, terlihat bahwa bunga terus bertambah setiap tahunnya/periodenya, yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ( i ) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya.

Perhitungannya sebagai berikut :

Modal sebelumnya        = Rp 50.000.000,00

Bunga tahun/periode I   = 3% × Rp 50.000.000,00 = Rp 1.000.000,00

Modal periode I             = Rp 50.000.000,00 + Rp 1.000.000,00

                                       = Rp 51.000.000,00

Bunga tahun/periode II  = 3% × Rp 51.000.000,00 = Rp 1.020.000,00

Modal periode II            = Rp 51.000.000,00 + Rp 1.020.000,00

                                       = Rp 52.020.000,00

Begitu seterusnya.

Selain menghitung secara manual seperti di atas, menghitung besarnya bunga majemuk da pat dilakukan dengan fungsi eksponen, yang sudah kita bahas di unit 1. Selain dengan hitungan manual seperti uraian diatas, atau dengan fungsi eksponen, suku Bunga bank juga dapat dihitung dengan menggunakan logaritma. Kita dapat menggunakan logaritma untuk menentukan waktu yang diperlukan untuk menaikkan tabungan awal menjadi suatu jumlah tertentu.

Dalam bunga majemuk dengan tabungan awal M₀ pada bunga i per tahun, maka jumlah tabungan setelah waktu penyimpanan t tahun (Mₜ) dapat dirumuskan sebagai berikut :

Contoh Soal:

Bu Sinta memiliki tabungan di suatu bank sejumlah Rp 5.000.000,00 dengan bunga majemuk 5% per tahun. Tentukan waktu yang diperlukan agar tabungan Bu Sinta menjadi dua kali lipat.

Jawab:

Video Penjelasan Fungsi Logaritma

4. Penugasan

Kerjakanlah beberapa soal berikut di buku tulis kalian, jawaban dari soal tersebut akan dibahas pada pertemuan tutorial !

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal berikut !
    Nilai x yang memenuhi persamaan  ¹⁰log (2 x 5) = ¹⁰log (x + 3)

2. Tentukan nilai akhir sebuah modal sebesar  Rp. 5.000.000,00 yang diperbungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk 2% per tahun !

3. Carilah nilai akhir jika sebuah modal Rp.100.000,00 yang dibungakan dengan bunga majemuk selama 5 tahun 4 bulan dengan bunga 6% per tahun !

Daftar Pustaka

Senja, Hendi Gumiral. (2008). Matematika 1. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Iskandar, Haris. (2017). Matematika Perminatan Paket C Setara SMA/MA. Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Anak Usia Dini dan Pendidikan Masyarakat, Direktorat Pembinaan Pendidikan Keaksaraan dan Kesetaraan.

Share: